B/Áp dụng :I.Các ví dụ :Dạng 1 : Tìm số dư của phép chiaBài 1 : Tìm số dư trong phép chia 20042004 cho 11Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11 : Một số được gọi là chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa các tổng chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn kể từ trái sang phải chia hết cho 11.Ví dụ : Xét xem số 5016 có chia hết cho 11 ?Ta có (5 + 1) - (0 + 6) = 0. Vì 0 11 = > 5016 11Giải :Ta có 2002 11 => 2004 - 2 11 => 2004 ≡ 2 (mod 11) => 20042004 ≡ 22004 (mod 11) , mà 210 ≡ 1 (mod 11) (vì 1024 - 1 11)=> 20042004 = 24.22000 = 24.(210)200 ≡ 24 ≡ 5 (mod 11) Vậy 20042004 chia 11 dư 5.Bài 2 : Tìm số dư khi chia A = 19442005 cho 7Giải :Ta có : 1944 ≡ -2 (mod 7) => 19442005 ≡ (-2)2005 (mod 7) Mà (-2)3 ≡ - 1 (mod 7) => (-23)668 ≡ 1668 (mod 7) hay (-23)668 ≡ 1 (mod 7) => (-23)668.(-2) ≡ - 2 (mod 7) hay (-2)2005 ≡ - 2 (mod 7) Vậy 19442005 cho 7 dư 5.Bài 3 : Chứng minh rằng các số A = 61000 - 1 và B = 61001 + 1 đều là bội số của 7Giải :Ta có 6 ≡ - 1 (mod 7) => 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61000 - 1 7Vậy A là bội của 7Từ 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61001 ≡ 6 (mod 7) , mà 6 ≡ - 1 (mod 7)=> 61001 ≡ -1 (mod 7) => 61001 + 1 7Vậy B là bội của 7Bài 4 : Tìm số dư trong phép chia 15325 - 1 cho 9Giải :Ta có 1532 ≡ 2 (mod 9) => 15325 ≡ 25 (mod 9) , mà 25 ≡ 5 (mod 9)=> 15325 ≡ 5 (mod 9) => 15325 - 1 ≡ 4(mod 9) Vậy 15325 - 1 chia cho 9 dư là 4.Bài 5 : Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19Giải :Ta có A = A = 7.52n + 12.6n = A = 7.25n + 12.6n Vì 25 ≡ 6 (mod 19) => 25n ≡ 6n (mod 19)=>7.25n ≡ 7.6n (mod 19) => 7.25n + 12.6n ≡ 7.6n + 12.6n ≡ 19.6n ≡ 0 (mod 19) . Điều này chứng tỏ A chia hết cho 19.Bài 6 : Tìm dư trong phép chia 32003 cho 13.Giải :Ta có 33 ≡ 1 (mod 13) mà 2003 = 3.667 + 2 => 32003 = (33)667. 32 33 ≡ 1 => (33)667 ≡ 1667 => (33)667. 32 ≡ 1.32 (mod 13) (33)667. 32 ≡ 9 => 32003 ≡ 9 (mod 13).Vậy 32003 chia cho 13 dư 9 .Bai 7 : Chứng minh rằng 22002 - 4 chia hết cho 31Giải :Ta có 25 ≡ 1 (mod 31) , mà 2002 = 5.400 + 2Nên 22002 = (25)400 .22 Vì 25 ≡ 1 (mod 31) => (25)400 ≡ 1400 (mod 31) => (25)400.22 ≡ 1.22 (mod 31)=> 22002 ≡ 4 (mod 31) => 22002 - 4 chia hết cho 31Bài 8 : Chứng minh rằng : 22225555 + 55552222 chia hết cho 7Giải :Ta có 2222 + 4 7 => 2222 ≡ - 4 (mod 7) => 22225555 ≡ (- 4)5555(mod 7) 5555 - 4 7 => 5555 ≡ 4 (mod 7) => 55552222 ≡ 42222 (mod 7) => 22225555 + 55552222 ≡ (- 4)5555 + 42222 (mod 7) Mà 42222 = (-4)2222 => (- 4)5555 + 42222 = (-4)2222. 43333 + 42222 = (-4)2222. 43333 - (- 4)2222 = (-4)2222(43333 - 1) ≡ (43) - 1(mod 7) (1)Ta lại có : 43 ≡ 1(mod 7) => 43 - 1= 63 7 => 43 - 1 ≡ 0 (mod 7) (2)Nên (- 4)5555 + 42222 ≡ 0 (mod 7) Từ (1) và (2) => 22225555 + 55552222 chia hết cho 7.Bài 9 : Tìm dư trong phép chia 570 + 750 cho 12Giải :Ta có 52 ≡ 1(mod 12) => (52)35 ≡ 1 (mod 12) hay 570 ≡ 1(mod 12) (1)72 ≡ 2 (mod 12) => (72)25 ≡ 1(mod 12) hay 750 ≡ 1(mod 12) (2)Từ (1) và (2) => 570 + 750 chia cho 12 dư 2.Bài 10 : Tìm số dư của A = 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 và khi chia cho 5?Giải :+Ta có 776 ≡ - 1(mod 3) => 776776 ≡ -1(mod 3) => 776776 ≡ 1 (mod 3)777 ≡ 0 (mod 3) => 777777 ≡ 0 (mod 3)778 ≡ 1 (mod 3) => 778778≡ 1 (mod 3)=> 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 dư 2.+Ta có 776 ≡ 1 (mod 5) => 776776 ≡ 1 (mod 5)777 ≡ - 3 (mod 5) => 777777 ≡ - 3777 (mod 5)778 ≡ 3 (mod 5) => 778778 ≡ 3778 (mod 5)=> 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 - 3777 + 3778 (mod 5)Hay 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3.3777 - 3777 (mod 5)776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3777(3 - 1) (mod 5)776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3777Mà 32 ≡ - 1(mod 3) => (32)388.3 ≡ 3 (mod 5)Vậy A = 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3 ≡ 2 (mod 5)Vậy A chia cho 5 dư 2.Bài 11 : Tìm số dư của A = 32005 + 42005 khi chia cho 11 và khi chia cho 13 ?Giải :+Ta có : 35 ≡ 1 (mod 11) => (35)401 ≡ 1 (mod 11)Và 45 ≡ 1 (mod 11) => (45)401 ≡ 1 (mod 11)=> A = 32005 + 42005 ≡ 2 (mod 11) => A chia cho 11 dư 2+Ta có : 33 ≡ 1 (mod 13) => (33)668. 3 ≡ 1.3 (mod 13) => 32005 ≡ 3 (mod 13) Và 43 ≡ -1 (mod 13) =>(43)668 .4≡ 1.4 (mod 13) => 42005 ≡ 4 (mod 13) => A = 32005 + 42005 ≡ 7 (mod 13) => A chia cho 13 dư 7 .Bài 12 : Giả sử m là số nguyên dương. Chứng minh rằng : Nếu ac1 ≡ ac2 (mod m) và (a, m) = 1 thì c1 ≡ c2 (mod m)Giải :Ta có : ac1 ≡ ac2 (mod m) => m \ ac1 - ac2 => m \a(c1 - c2)Vì (a, m) = 1 => m \ c1 - c2 => c1 ≡ c2 (mod m)
Bài 13 :Chứng minh rằng : Nếu p là một số nguyên tố và không là ước của số nguyên a thì ap - 1 ≡ 1 (mod p) Giải :Xét dãy số 1; 2; 3; ... ; p - 1. Tất cả các số này đôi một không đồng dư với nhau theo môđun p. Do đó các số a, 2a, 3a, ... ; (p - 1)a cũng đôi một không đồng dư với nhau rtheo môđun p. Bởi vì ngược lại nếu có r1a ≡ r2a (mod p) mà (a, p) = 1 => r1 ≡ r2 (mod p) - với r1, r2 là hai số nào đó của dãy số 1, 2, 3, ... , p - 1 (vô lí) Hơn nửa mõi một số của dãy a, 2a, 3a, ... , (p - 1)a đồng dư với đúng một trong các số 1, 2, 3, ... , p - 1 theo môđun p=> a.2a.3a. ... .(p- 1)a ≡ 1.2.3. ... (p - 1) (mod p) hay (p - 1)!ap - 1 ≡ (p - 1)! (mod p).Vì (p, (p - 1)!) = 1 => ap - 1 ≡ 1 (mod p)
Bài 14 : Chứng minh rằng : Nếu c là số nguyên dương : a ≡ b (mod m) => ac ≡ bc (mod c.m) Giải : a ≡ b (mod m) => a - b = m.q => ac - bc = mc.q => ac ≡ bc (mod c.m) *Định lý nhỏ Fermat : Giả sử p là số nguyên tố bất kỳ, khi đó với mọi số tự nhiên n ta có np - n chia hết cho p.Giải :Ta có np - n = n(np - 1 - 1) Nếu n chia hết cho p => định lý được chứng minh.Nếu n không chia hết cho p thì (n, p) = 1, nên np - 1 ≡ 1 (mod p) =>(np - 1 - 1) chia hết cho p.Bài 15 :Bạn Thắng học sinh lớp 6A đã viết một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14. Bạn Thắng đem số đó chia cho 8 thì được số dư là 4, nhưng khi chia cho 12 thì được số dư là 3.a)Chứng minh rằng bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép tính chia.b)Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 có ó dư là bao nhiêu ? Hãy Tìm số bị chia.Giải :a)Gọi số đó là n = ab Vì n chia cho 8 dư 4, nên n = 8p + 4Và n chia cho 12 dư 3, nên n = 12q + 3=> 8p + 4 = 12q + 3 (Mà 8p + 4 là số chẵn, còn 12q + 3 là số lẻ). Do vậy bạn Thắng đã làm sai một phép chia.b)Vì a + b = 14 => ab ≡ 2 (mod 3) => 4ab ≡ 8 (mod 12) (1)Nếu ab ≡ 0 (mod 4) => 3ab ≡ 0 (mod 12) (2)Từ (1) và (2) => ab ≡ 8 (mod 12) => n chia cho 12 dư 8Do n = 8p + 4 là số chẵn mà n = ab => b {0; 2; 4; 6; 8}Nếu b = 0 => a = 14 (loại - vì a là số có một chữ số khác 0)b = 2 => a = 12 (loại)b = 4 => a = 10 (loại)b = 6 => a = 8b = 8 => a = 6=> Số cần tìm là 86 hoặc 68 => Số bị chia là 68.Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một sốa)Tìm một chữ số tận cùng của an :-Nếu a có chữ số tận cùng là 0; 1; 5 hoặc 6 thì an lần lượt có chữ số tận cùng lần lượt là 0; 1; 5 hoặc 6.-Nếu a có chữ số tận cùng là 2, 3 hoặc 7, ta vận dụng nhận xét sau với k Z24k ≡ 6 (mod 10)34k ≡ 1 (mod 10)74k ≡ 1 (mod 10)Do đó để tìm chữ số tận cùng của an với a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7 ta lấy n chia cho 4. Giả sử n = 4k + r với r {0; 1; 2; 3}Nếu a ≡ 2 (mod 10) thì an ≡ 2n = 24k + r ≡ 6.2r (mod 10) Nếu a ≡ 3 (mod 10) hoặc a ≡ 7 (mod 10) thì an ≡ a4k + r ≡ ar (mod 10) Ví dụ 1 : Tìm chữ số cuối cùng của các số :a) 62009 , b) 92008 , c) 32009 , d) 22009Giải :a) 62009 có chữ số tận cùng là 6 (vì 6 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên khác 0 vẫn bằng chính số 6)b) 92008 = (92)1004 = 811004 = … 1 có chữ số tận cùng là 191991 = 91990.9 = (92)995.9 = 81995.9 = (…1).9 = … 9 có chữ số tận cùng là 9 Nhận xét : Số có chữ số tận cùng là 9 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chẵn khác 0 nào thì chữ số tận cùng là 1, khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên lẻ thì có số tận cùng là 9.c) 32009 = (34)502.3 = 81502.3 = (… 1).3 = … 3 có chữ số tận cùng là 3.d) 22009 = 22008.2 = (24)502.2 = 16502.2 = ( … 6).2 = … 2 có chữ số tận cùng là 2Ví dụ 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :a) 421 , b) 3103 , c) 84n + 1 (n N) d) 1423 + 2323 + 7023Giải :a) 430 = 42.15 = (42)15 = 1615 = …6 có chữ số tận cùng là 6421 = 420 + 1 = (42)10.4 = 1610.4 = (…6).4 = … 4 có chữ số tận cùng là 4 Nhận xét : Số nào có số tận cùng là 4 thì khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chẵn thì có số tận cùng là 6, khi nâng lên với số mũ tự nhiên lẻ có số tận cùng là 4)b) 3103 = 3102.3 = (32)51.3 = 951.3 = (… 9).3 = … 7 có chữ số tận cùng là 7c) 84n + 1 = 84n.8 = (23)4n.8 = 212n.8 = (24)3n.8 = 163n.8 = (…6).8 = …. 8 có chữ số tận cùng là 8d) 1423 = 1422.14 = (… 6).14 = …. 42323 = 2322.23 = (232)11.23 = ( … 9).23 = …77023 = … 0Vậy : 1423 + 2323 + 7023 = … 4 + … 7 + … 0 = … 1 có chữ số tận cùng là 1b)Tìm hai số tận cùng của số an :Ta có nhận xét sau :220 ≡ 76 (mod 100)320 ≡ 01 (mod 100)65 ≡ 76 (mod 100)74 ≡ 01 (mod 100)Mà 76n ≡ 76 (mod 100) với n ≥ 15n ≡ 25 (mod 100) với n ≥ 2Suy ra kết quả sau với k là số tự nhiên khác 0.a20k ≡ 00 (mod 100) nếu a ≡ 0 (mod 10)a20k ≡ 01 (mod 100) nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 (mod 10)a20k ≡ 25 (mod 100) nếu a ≡ 5 (mod 10)a20k ≡ 76 (mod 100 nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 (mod 10)Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an, ta lấy số mũ n chia cho 20Bài 1 : Tìm hai chữ số tân cùng của 22003Giải :Ta có : 220 ≡ 76 (mod 100) => 220k ≡ 76 (mod 100)Do đó : 22003 = 23.(220)100 = 8.(220)100 = ( … 76).8 = …08Vậy 22003 có hai chữ số tận cùng là 08.