Tuesday (Thứ Ba ), 2023-01-31, 11:36 AM

Welcome to 92GK.DO.AM

Góc Âm nhạc
Cười chút chút
Văn chương
 
Kẻ bị nạn
Một vụ tai nạn giao thông vừa xảy
 ra ngoài phố. Mọi người tò mò chen 
lấn vòng trong vòng ngoài để xem.
 Một anh đến chậm không tài nào 
vào xem được. Tức quá, anh ta liền hét toáng lên: - Tôi là bố kẻ bị nạn đây! Mọi người kinh ngạc quay lại nhìn 
và vội vã giãn ra cho anh ta vào. "Kẻ bị nạn" l
à một... chú chó vừa bị xe cán chết.  
Lời chúc dễ ghét Chúc... Trẻ trung như heo sữa, Bốc lửa như heo hơi, Chịu chơi như heo nái, Hăng hái như heo con, Sắc son như heo đất, Đủ chất như ..heo thịt Thi vấn đáp
Một sinh viên phải trả thi 
trong hội đồng. Giáo sư hỏi: - Các-mác mất năm nào? - Các-mác đã mất! Một phút 
mặc niệm để tưởng nhớ đến Người! Cả hội đồng đứng dậy tưởng 
niệm một phút. Giáo sư hỏi tiếp: - Lê-nin mất năm nào? Việc học
Lúc bé, nghỉ học là chuyện lạ.
 Lớn lên mới biết, chuyện lạ là đi học. Lúc bé, tưởng đến trường là phải học.
 Lớn lên mới biết, đến trường còn được ngủ. Lúc bé, tưởng thi xong là hết. 
Lớn lên mới biết , sau thi còn có thi lại. Lúc bé , tưởng điểm 10 mới là giỏi.
 Lớn lên mới biết, chỉ 5 thôi đã quý lắm rồi. Lúc bé, tưởng càng học càng giỏi.... Bay nhanh...
Có hai con đại bàng đang bay với nhau
. Bỗng nhiên nó thấy một chiếc máy bay 
phản lực bay ngang qua. Đại bàng A : Làm sao mà mấy t
hứ đó có thể bay nhanh thế nhỉ ? Thời hiện đại Hai người đàn ông chuẩn bị
 làm bố gặp nhau ngoài phòng 
chờ của bệnh viện phụ sản. Đồng
 cảnh ngộ nên họ mau chóng trò 
chuyện tâm đầu ý hợp. - Anh tin không, - Một người nói 
- Hôm nay là ngày đầu tiên trong
 chuyến du lịch của chúng tôi.
 Thế mà cô ấy lại lên bàn đẻ... - Thế thì có gì mà anh phải phàn nàn?
 - Người kia nhún vai. 
- Đây là tuần trăng mật của chúng tôi. Tin nhắn shock
Có một chàng trai yêu 
đơn phương một cô gái
 nhưng không dám nói ra. Một ngày kia, lấy hết can
 đảm, chàng soạn một tin
 nhắn tỏ tình và nhấn send 
lúc 1h sáng. Tin nhắn trả lời 
đến ngay sau đó, nhưng chàng
 trai quyết định để ngày hôm sau sẽ đọc. Sáng hôm sau, chàng trai mở
 tin nhắn lên và... shock. Nhường chỗ
Một cậu bé 6 tuổi khoe với mẹ rằng: - Mẹ biết không? Buổi sáng đi xe bus
 cùng bố con đã nhường chỗ cho một phụ nữ! Mẹ cậu khen: - Con giỏi lắm, con đã ra dáng một 
chàng trai rồi đấy! Mẹ rất tự hào về con
! Người mẹ mặt tươi rói,
 rạng ngời hạnh phúc trước đứa con ngoan. Chỉ có thể là địa ngục
Có một câu chuyện kể rằng:
 Một người kia vừa mới chết và được
 sinh vào một nơi thật là xinh đẹp, 
bao quanh với mọi thứ lạc thú không 
thể nào tưởng tượng được. Một người
 bận áo choàng trắng đến đón chào anh t
a và nói: "Ngài có thể có mọi thứ ngà
i muốn - thức ăn, khoái lạc, mọi thứ giải trí.” Mắt còn tốt
Hai vợ chồng già nói chuyện 
với nhau: - Anh vẫn chơi golf tốt chứ, Jack? - 
Anh đánh vẫn tốt nhưng mắt đã kém quá rồi,
 nên không biết quả bóng nó lăn đi đâu. -
 Thì anh đã 75 tuổi rồi còn gì! 
Sao anh không rủ anh Scott 
của em đi chơi cùng với?
Lịch
«  January 2023  »
SuMoTuWeThFrSa
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031
Ý bạn thế nào ?
Cần làm gì để 9/2 chúng mình tốt hơn ?
Total of answers: 129
Chat
Thống kê

Tổng số online: 1
Khách : 1
Người sử dụng: 0

Bài ứng dụng

B/Áp dụng :
I.Các ví dụ :

Dạng 1 : Tìm số dư của phép chia
Bài 1 : Tìm số dư trong phép chia 20042004 cho 11
Sử
dụng dấu hiệu chia hết cho 11 : Một số được gọi là chia hết cho 11 khi
và chỉ khi hiệu giữa các tổng chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng
chẵn kể từ trái sang phải chia hết cho 11.
Ví dụ : Xét xem số 5016 có chia hết cho 11 ?
Ta có (5 + 1) - (0 + 6) = 0. Vì 0 11 = > 5016 11
Giải :
Ta có 2002 11 => 2004 - 2 11 => 2004 ≡ 2 (mod 11)
=> 20042004 ≡ 22004 (mod 11) , mà 210 ≡ 1 (mod 11) (vì 1024 - 1 11)
=> 20042004 = 24.22000 = 24.(210)200 ≡ 24 ≡ 5 (mod 11)
Vậy 20042004 chia 11 dư 5.

Bài 2 : Tìm số dư khi chia A = 19442005 cho 7
Giải :
Ta có : 1944 ≡ -2 (mod 7) => 19442005 ≡ (-2)2005 (mod 7)
Mà (-2)3 ≡ - 1 (mod 7) => (-23)668 ≡ 1668 (mod 7) hay (-23)668 ≡ 1 (mod 7)
=> (-23)668.(-2) ≡ - 2 (mod 7) hay (-2)2005 ≡ - 2 (mod 7)
Vậy 19442005 cho 7 dư 5.

Bài 3 : Chứng minh rằng các số A = 61000 - 1 và B = 61001 + 1 đều là bội số của 7
Giải :
Ta có 6 ≡ - 1 (mod 7) => 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61000 - 1 7
Vậy A là bội của 7
Từ 61000 ≡ 1 (mod 7) => 61001 ≡ 6 (mod 7) , mà 6 ≡ - 1 (mod 7)
=> 61001 ≡ -1 (mod 7) => 61001 + 1 7
Vậy B là bội của 7

Bài 4 : Tìm số dư trong phép chia 15325 - 1 cho 9
Giải :
Ta có 1532 ≡ 2 (mod 9) => 15325 ≡ 25 (mod 9) , mà 25 ≡ 5 (mod 9)
=> 15325 ≡ 5 (mod 9) => 15325 - 1 ≡ 4(mod 9)
Vậy 15325 - 1 chia cho 9 dư là 4.

Bài 5 : Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Giải :
Ta có A = A = 7.52n + 12.6n = A = 7.25n + 12.6n
Vì 25 ≡ 6 (mod 19) => 25n ≡ 6n (mod 19)
=>7.25n ≡ 7.6n (mod 19) => 7.25n + 12.6n ≡ 7.6n + 12.6n ≡ 19.6n ≡ 0 (mod 19) . Điều này chứng tỏ A chia hết cho 19.

Bài 6 : Tìm dư trong phép chia 32003 cho 13.
Giải :
Ta có 33 ≡ 1 (mod 13) mà 2003 = 3.667 + 2 => 32003 = (33)667. 32
33 ≡ 1 => (33)667 ≡ 1667 => (33)667. 32 ≡ 1.32 (mod 13) (33)667. 32 ≡ 9
=> 32003 ≡ 9 (mod 13).
Vậy 32003 chia cho 13 dư 9 .

Bai 7 : Chứng minh rằng 22002 - 4 chia hết cho 31
Giải :
Ta có 25 ≡ 1 (mod 31) , mà 2002 = 5.400 + 2
Nên 22002 = (25)400 .22
Vì 25 ≡ 1 (mod 31) => (25)400 ≡ 1400 (mod 31) => (25)400.22 ≡ 1.22 (mod 31)
=> 22002 ≡ 4 (mod 31) => 22002 - 4 chia hết cho 31

Bài 8 : Chứng minh rằng : 22225555 + 55552222 chia hết cho 7
Giải :
Ta có 2222 + 4 7 => 2222 ≡ - 4 (mod 7) => 22225555 ≡ (- 4)5555(mod 7)
5555 - 4 7 => 5555 ≡ 4 (mod 7) => 55552222 ≡ 42222 (mod 7)
=> 22225555 + 55552222 ≡ (- 4)5555 + 42222 (mod 7)
Mà 42222 = (-4)2222 => (- 4)5555 + 42222 = (-4)2222. 43333 + 42222
= (-4)2222. 43333 - (- 4)2222 = (-4)2222(43333 - 1) ≡ (43) - 1(mod 7) (1)
Ta lại có : 43 ≡ 1(mod 7) => 43 - 1= 63 7 => 43 - 1 ≡ 0 (mod 7) (2)
Nên (- 4)5555 + 42222 ≡ 0 (mod 7)
Từ (1) và (2) => 22225555 + 55552222 chia hết cho 7.

Bài 9 : Tìm dư trong phép chia 570 + 750 cho 12
Giải :
Ta có 52 ≡ 1(mod 12) => (52)35 ≡ 1 (mod 12) hay 570 ≡ 1(mod 12) (1)
72 ≡ 2 (mod 12) => (72)25 ≡ 1(mod 12) hay 750 ≡ 1(mod 12) (2)
Từ (1) và (2) => 570 + 750 chia cho 12 dư 2.

Bài 10 : Tìm số dư của A = 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 và khi chia cho 5?
Giải :
+Ta có 776 ≡ - 1(mod 3) => 776776 ≡ -1(mod 3) => 776776 ≡ 1 (mod 3)
777 ≡ 0 (mod 3) => 777777 ≡ 0 (mod 3)
778 ≡ 1 (mod 3) => 778778≡ 1 (mod 3)
=> 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 dư 2.
+Ta có 776 ≡ 1 (mod 5) => 776776 ≡ 1 (mod 5)
777 ≡ - 3 (mod 5) => 777777 ≡ - 3777 (mod 5)
778 ≡ 3 (mod 5) => 778778 ≡ 3778 (mod 5)
=> 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 - 3777 + 3778 (mod 5)
Hay 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3.3777 - 3777 (mod 5)
776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3777(3 - 1) (mod 5)
776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3777
Mà 32 ≡ - 1(mod 3) => (32)388.3 ≡ 3 (mod 5)
Vậy A = 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3 ≡ 2 (mod 5)
Vậy A chia cho 5 dư 2.

Bài 11 : Tìm số dư của A = 32005 + 42005 khi chia cho 11 và khi chia cho 13 ?
Giải :
+Ta có : 35 ≡ 1 (mod 11) => (35)401 ≡ 1 (mod 11)
Và 45 ≡ 1 (mod 11) => (45)401 ≡ 1 (mod 11)
=> A = 32005 + 42005 ≡ 2 (mod 11)
=> A chia cho 11 dư 2
+Ta có : 33 ≡ 1 (mod 13) => (33)668. 3 ≡ 1.3 (mod 13) => 32005 ≡ 3 (mod 13)
Và 43 ≡ -1 (mod 13) =>(43)668 .4≡ 1.4 (mod 13) => 42005 ≡ 4 (mod 13)
=> A = 32005 + 42005 ≡ 7 (mod 13)
=> A chia cho 13 dư 7 .

Bài 12 : Giả sử m là số nguyên dương. Chứng minh rằng : Nếu ac1 ≡ ac2 (mod m) và (a, m) = 1 thì c1 ≡ c2 (mod m)
Giải :
Ta có : ac1 ≡ ac2 (mod m) => m \ ac1 - ac2 => m \a(c1 - c2)
Vì (a, m) = 1 => m \ c1 - c2 => c1 ≡ c2 (mod m)


Bài 13 :
Chứng minh rằng : Nếu p là một số nguyên tố và không là ước của số nguyên a thì ap - 1 ≡ 1 (mod p)
Giải :
Xét
dãy số 1; 2; 3; ... ; p - 1. Tất cả các số này đôi một không đồng dư
với nhau theo môđun p. Do đó các số a, 2a, 3a, ... ; (p - 1)a cũng đôi
một không đồng dư với nhau rtheo môđun p. Bởi vì ngược lại nếu có r1a ≡
r2a (mod p) mà (a, p) = 1 => r1 ≡ r2 (mod p) - với r1, r2 là hai số
nào đó của dãy số 1, 2, 3, ... , p - 1 (vô lí)
Hơn nửa mõi một số của dãy a, 2a, 3a, ... , (p - 1)a đồng dư với đúng một trong các số 1, 2, 3, ... , p - 1 theo môđun p
=> a.2a.3a. ... .(p- 1)a ≡ 1.2.3. ... (p - 1) (mod p) hay (p - 1)!ap - 1 ≡ (p - 1)! (mod p).
Vì (p, (p - 1)!) = 1 => ap - 1 ≡ 1 (mod p)


Bài 14 : Chứng minh rằng : Nếu c là số nguyên dương : a ≡ b (mod m) => ac ≡ bc (mod c.m)
Giải :
a ≡ b (mod m) => a - b = m.q => ac - bc = mc.q => ac ≡ bc (mod c.m)
*Định lý nhỏ Fermat : Giả sử p là số nguyên tố bất kỳ, khi đó với mọi số tự nhiên n ta có np - n chia hết cho p.
Giải :
Ta có np - n = n(np - 1 - 1)
Nếu n chia hết cho p => định lý được chứng minh.
Nếu n không chia hết cho p thì (n, p) = 1, nên np - 1 ≡ 1 (mod p)
=>(np - 1 - 1) chia hết cho p.

Bài 15 :
Bạn
Thắng học sinh lớp 6A đã viết một số có hai chữ số mà tổng các chữ số
của nó là 14. Bạn Thắng đem số đó chia cho 8 thì được số dư là 4, nhưng
khi chia cho 12 thì được số dư là 3.
a)Chứng minh rằng bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép tính chia.
b)Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 có ó dư là bao nhiêu ? Hãy Tìm số bị chia.
Giải :
a)Gọi số đó là n = ab
Vì n chia cho 8 dư 4, nên n = 8p + 4
Và n chia cho 12 dư 3, nên n = 12q + 3
=> 8p + 4 = 12q + 3 (Mà 8p + 4 là số chẵn, còn 12q + 3 là số lẻ). Do vậy bạn Thắng đã làm sai một phép chia.
b)Vì a + b = 14 => ab ≡ 2 (mod 3) => 4ab ≡ 8 (mod 12) (1)
Nếu ab ≡ 0 (mod 4) => 3ab ≡ 0 (mod 12) (2)
Từ (1) và (2) => ab ≡ 8 (mod 12) => n chia cho 12 dư 8
Do n = 8p + 4 là số chẵn mà n = ab => b {0; 2; 4; 6; 8}
Nếu b = 0 => a = 14 (loại - vì a là số có một chữ số khác 0)
b = 2 => a = 12 (loại)
b = 4 => a = 10 (loại)
b = 6 => a = 8
b = 8 => a = 6
=> Số cần tìm là 86 hoặc 68 => Số bị chia là 68.

Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một số
a)Tìm một chữ số tận cùng của an :
-Nếu a có chữ số tận cùng là 0; 1; 5 hoặc 6 thì an lần lượt có chữ số tận cùng lần lượt là 0; 1; 5 hoặc 6.
-Nếu a có chữ số tận cùng là 2, 3 hoặc 7, ta vận dụng nhận xét sau với k  Z
24k ≡ 6 (mod 10)
34k ≡ 1 (mod 10)
74k ≡ 1 (mod 10)
Do
đó để tìm chữ số tận cùng của an với a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7 ta
lấy n chia cho 4. Giả sử n = 4k + r với r  {0; 1; 2; 3}
Nếu a ≡ 2 (mod 10) thì an ≡ 2n = 24k + r ≡ 6.2r (mod 10)
Nếu a ≡ 3 (mod 10) hoặc a ≡ 7 (mod 10) thì an ≡ a4k + r ≡ ar (mod 10)
Ví dụ 1 : Tìm chữ số cuối cùng của các số :
a) 62009 , b) 92008 , c) 32009 , d) 22009
Giải :
a) 62009 có chữ số tận cùng là 6 (vì 6 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên khác 0 vẫn bằng chính số 6)
b) 92008 = (92)1004 = 811004 = … 1 có chữ số tận cùng là 1
91991 = 91990.9 = (92)995.9 = 81995.9 = (…1).9 = … 9 có chữ số tận cùng là 9
Nhận
xét : Số có chữ số tận cùng là 9 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự
nhiên chẵn khác 0 nào thì chữ số tận cùng là 1, khi nâng lên luỹ thừa
với số mũ tự nhiên lẻ thì có số tận cùng là 9.
c) 32009 = (34)502.3 = 81502.3 = (… 1).3 = … 3 có chữ số tận cùng là 3.
d) 22009 = 22008.2 = (24)502.2 = 16502.2 = ( … 6).2 = … 2 có chữ số tận cùng là 2
Ví dụ 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
a) 421 , b) 3103 , c) 84n + 1 (n  N) d) 1423 + 2323 + 7023
Giải :
a) 430 = 42.15 = (42)15 = 1615 = …6 có chữ số tận cùng là 6
421 = 420 + 1 = (42)10.4 = 1610.4 = (…6).4 = … 4 có chữ số tận cùng là 4
Nhận
xét : Số nào có số tận cùng là 4 thì khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự
nhiên chẵn thì có số tận cùng là 6, khi nâng lên với số mũ tự nhiên lẻ
có số tận cùng là 4)
b) 3103 = 3102.3 = (32)51.3 = 951.3 = (… 9).3 = … 7 có chữ số tận cùng là 7
c) 84n + 1 = 84n.8 = (23)4n.8 = 212n.8 = (24)3n.8 = 163n.8 = (…6).8 = …. 8 có chữ số tận cùng là 8
d) 1423 = 1422.14 = (… 6).14 = …. 4
2323 = 2322.23 = (232)11.23 = ( … 9).23 = …7
7023 = … 0
Vậy : 1423 + 2323 + 7023 = … 4 + … 7 + … 0 = … 1 có chữ số tận cùng là 1
b)Tìm hai số tận cùng của số an :
Ta có nhận xét sau :
220 ≡ 76 (mod 100)
320 ≡ 01 (mod 100)
65 ≡ 76 (mod 100)
74 ≡ 01 (mod 100)
Mà 76n ≡ 76 (mod 100) với n ≥ 1
5n ≡ 25 (mod 100) với n ≥ 2
Suy ra kết quả sau với k là số tự nhiên khác 0.
a20k ≡ 00 (mod 100) nếu a ≡ 0 (mod 10)
a20k ≡ 01 (mod 100) nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 (mod 10)
a20k ≡ 25 (mod 100) nếu a ≡ 5 (mod 10)
a20k ≡ 76 (mod 100 nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 (mod 10)
Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an, ta lấy số mũ n chia cho 20
Bài 1 : Tìm hai chữ số tân cùng của 22003
Giải :
Ta có : 220 ≡ 76 (mod 100) => 220k ≡ 76 (mod 100)
Do đó : 22003 = 23.(220)100 = 8.(220)100 = ( … 76).8 = …08
Vậy 22003 có hai chữ số tận cùng là 08. 

 

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia cho

Ta có:

(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )
(mod )

Suy ra (mod )

Vậy số dư của phép chia cho .

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho

là số nguyên tố. Theo định lý Fermat ta có:

(mod )

Suy ra:

(mod )
(mod 2003)

Vậy số dư của phép chia cho .

Chú ý: Phương pháp trên được trình bày dưới dạng các ví dụ cơ bản !